Look hidden pool is real shit. Just go 2 weeks without pinging or getting reported and you will notice the difference.
without pinging? then i'll just lose, 4ks rarely notice that they're playing dota 2 videogame until their last lane of raxs starts falling apart and they realise that they're supposed to defend the ancient
also my latest conduct summary was the first one when i had over 2 reports (5) past two weeks or so
dont forget keep pma, your mindset is what stops you from winning the games!
not the intentional feeders, dual mids and afk junglers
nononono!
this is why selective memory is a bitch. until you;ve counted the number of times ruiners were in your team vs opposing, and seeing if it was statistically significant, this is still match making as intended.
Yes, Valve is on you. He is tired of you winning the games so he puts retard Axes in your team so they can sabotage ONLY YOU and no one else so you drop MMR. Perfect logic.
Go to sleep kiddo, you have 125 hours in last 2 weeks.
maybe ping like a normal human being, type and communicate like a normal human being, and stop tilting your teammates. pma wil get you those games without any changes in your skill. lol
https://www.dotabuff.com/matches/3212339530
This guy play mid pudge with barely 300 gpm
dude stop blaming your team , some of them , yes ur team fault
but in lost streak , there must be something wrong with you
you are one of the blamer , look at urself man
oh shit no you found me after playing 40 games i decided to play one game fOR FUN XD to see how it feels like being absolute deadweight who loses the game! it's was me the whole time, plotting this matchmaking tomfoolery!
[Part 1: Summer Cem]
Wir stürm'n dein Provinznest mit Faysal und Hikmet
Meine Jungs zeigen kein bisschen Respect (hu!)
Ihr habt keine Nüsse, ihr habt NicNac's
Fick' deine Mutter als ob ich sie vermisst hätt'
Pimpslaps, links, rechts
Ich mach' dich heut zu meiner Prinzessin
Ich will seh'n, wie du Hund jetzt mein'n Tisch deckst
Ich hab' Tabasco in meinem Hipbag
Summer Cem, Summer Cem (ah)
Gib es zu, ihr seid alle meine Fans (jaja)
Komm mal hier, komm mal hier
Deine Jungs werden rumkommandiert (hu! hu!)
[Pre-Hook: Summer Cem]
Keine Zeit, Alter, nicht jetzt
Vielleicht später, aber nicht jetzt
Klar könn'n wir reden, aber nicht jetzt
Ich will wissen, wie's dir geht, aber nicht jetzt
[Hook: KC Rebell & Summer Cem]
Nicht jetzt, nicht jetzt
Zeit sich zu ändern, aber nicht jetzt
Nicht jetzt, nicht jetzt
Wann dann, wenn nicht jetzt? (hu!)
[Part 2: KC Rebell]
Meine Weste ist stichfest (ah)
Ein falscher Blick und es gibt Stress (was?)
Wer wollte reden, der spricht jetzt (yallah)
*Dup dup dup dup* ist dein Kismet (huh!)
Der Polizist will einen Pisstest
Wegen fünf Schwarzköpfen in 'nem X6
Ihr seid kleine Forellen in mei'm Fischnetz
Fick seine Mutter, wer nicht mitrappt
Ich bin fedakar, fedakar
Ich handel' im Guten und denk' nicht an Kâr
Patte hin, Patte her
Ich hab' damals schon immer was geklärt (ja, ja, ja)
[Pre-Hook: KC Rebell]
Keine Zeit, Alter, nicht jetzt
Vielleicht später, aber nicht jetzt
Klar könn'n wir reden, aber nicht jetzt
Ich will wissen, wie's dir geht, aber nicht jetzt
[Hook: KC Rebell & Summer Cem]
Nicht jetzt, nicht jetzt
Zeit sich zu ändern, aber nicht jetzt
Nicht jetzt, nicht jetzt
Wann dann, wenn nicht jetzt?
Nicht jetzt, nicht jetzt
[Part 3: Summer Cem & KC Rebell]
VIP, VIP
Wie Notorious B.I.G. (G)
Appetit, Appetit
Sie verfolgen uns per Satellit
Manikür', Pedikür'
Zehn Fotzen steh'n vor der Tür (hür)
Butterfly, Butterfly
Ich hab' scharfe Klingen mit dabei (aiaiai)
Serseri, serseri
Salāmu ʿalaikum, c'est la vie (hu! hu!)
Fetter Beat, fetter Beat
Juh-Dee, du bist ein Freak! (mies!)
[Hook: KC Rebell & Summer Cem]
Nicht jetzt, nicht jetzt
Zeit sich zu ändern, aber nicht jetzt
Nicht jetzt, nicht jetzt
Wann dann, wenn nicht jetzt?
Nicht jetzt, nicht jetzt
Zeit sich zu ändern, aber nicht jetzt
Nicht jetzt, nicht jetzt
Wann dann, wenn nicht jetzt?
Go to sleep kiddo, you have 125 hours in last 2 weeks.
those are rookie numbers
maybe ping like a normal human being, type and communicate like a normal human being, and stop tilting your teammates. pma wil get you those games without any changes in your skill. lol
you know what's the funniest shit you havent seen a single thing that happened in my recent games yet you try to judge and educate me about what exactly i'm doing
i think that now you should go and download that pudge game to prove me wrong and tell me that all of my losses were actually caused by my terrible pick, poor playing and feed!
yea youre right. i just assumed because someone said something about not pinging to improve your matchmaking pool. and you responded to that, so i assumed improving behaviour score is actually important to you that you would even consider it. so im just saying u can still ping, but do it in a civilised way. essentially, act civilised to increase your behaviour score if you reall think you are shadow-poolled.
in times like this i feel a little sad for not being able to express myself properly or being at least decently skilled at argumentations because i just can't quite find the proper wording to show you how incredibly dumb you sound
oh shit no you found me after playing 40 games i decided to play one game fOR FUN XD to see how it feels like being absolute deadweight who loses the game! it's was me the whole time, plotting this matchmaking tomfoolery!
what if you are matched with some guy that lost like 6 games in a row, frustrated at MM. And then his matched with you. YOu pick pudge and ruin his game. Dont you think that guy is also frustrated as you? Do you see the concept here and all the factors that influence direction in what way game will go?
in times like this i feel a little sad for not being able to express myself properly or being at least decently skilled at argumentations because i just can't quite find the proper wording to show you how incredibly dumb you sound
no need for that, i know how dumb i sound. anything else? question is.... do you know how dumb you sound? you've got literally pages of people trying to convince you. lo
on a real note here arin what exactly is the point of this thread you've been playing this game for at least 2 years now (right?) you most definitely know by now posting stuff like this here is not gonna have any impact on your games and is gonna improve them one bit
if its just venting its whatever i guess but if not i dont understand u
yea youre right. i just assumed because someone said something about not pinging to improve your matchmaking pool. and you responded to that, so i assumed improving behaviour score is actually important to you that you would even consider it. so im just saying u can still ping, but do it in a civilised way. essentially, act civilised to increase your behaviour score if you reall think you are shadow-poolled.
oh okay thanks i'll remember that next time my teammate kills me and ruins entire fight followed by cursing my family back to grean-great-grandfathers and destroying items because i left his lane to put out wards somewhere in 4th minute which clearly transitioned into having 3 items in 45th minute from pos 1
Тензор инерции — в механике абсолютно твёрдого тела — тензорная величина, связывающая момент импульса тела и кинетическую энергию его вращения с угловой скоростью:
E k i n r o t = 1 2 ω → T ⋅ J ⋅ ω → {\displaystyle \ E_{kin\ rot}={1 \over 2}\ {\vec {\omega }}^{\,T}\cdot J\cdot {\vec {\omega }}} {\displaystyle \ E_{kin\ rot}={1 \over 2}\ {\vec {\omega }}^{\,T}\cdot J\cdot {\vec {\omega }}}
E k i n = E k i n r o t + p 2 2 m {\displaystyle \ E_{kin}=E_{kin\ rot}+{p^{2} \over 2m}} \ E_{{kin}}=E_{{kin\ rot}}+{p^{2} \over 2m},
в компонентах это выглядит так:
L i = ∑ j J i j ω j {\displaystyle \ L_{i}=\sum _{j}J_{ij}\omega _{j}} \ L_{i}=\sum _{j}J_{{ij}}\omega _{j}
E k i n r o t = 1 2 ∑ i j ω i J i j ω j {\displaystyle \ E_{kin\ rot}={1 \over 2}\sum _{ij}\omega _{i}J_{ij}\omega _{j}} \ E_{{kin\ rot}}={1 \over 2}\sum _{{ij}}\omega _{i}J_{{ij}}\omega _{j}
Используя определение момента импульса системы N материальных точек (перенумерованных в формулах ниже индексом k):
L → = ∑ k = 1 N [ r → k × ( m k v → k ) ] {\displaystyle \ {\vec {L}}=\sum _{k=1}^{N}[\ {\vec {r}}_{k}\times (\ m_{k}\ {\vec {v}}_{k}\ )\ ]} {\displaystyle \ {\vec {L}}=\sum _{k=1}^{N}[\ {\vec {r}}_{k}\times (\ m_{k}\ {\vec {v}}_{k}\ )\ ]}
и кинематическое выражение для скорости через угловую скорость:
и сравнивая с формулой, выражающей момент импульса через тензор инерции и угловую скорость (первой в этой статье), нетрудно получить явное выражение для тензора инерции:
J i j = ∑ k ( m k ( δ i j r k 2 − r i k r j k ) ) ) {\displaystyle \ J_{ij}=\sum _{k}(\ m_{k}\ (\delta _{ij}r_{k}^{2}-r_{i_{k}}r_{j_{k}})\ ))} {\displaystyle \ J_{ij}=\sum _{k}(\ m_{k}\ (\delta _{ij}r_{k}^{2}-r_{i_{k}}r_{j_{k}})\ ))}
или в непрерывном виде:
J i j = ∫ ( δ i j r 2 − r i r j ) d m = ∫ ( δ i j r 2 − r i r j ) ρ d V {\displaystyle \ J_{ij}=\int (\delta _{ij}r^{2}-r_{i}r_{j}\ )dm=\int (\delta _{ij}r^{2}-r_{i}r_{j}\ )\rho dV} \ J_{{ij}}=\int (\delta _{{ij}}r^{2}-r_{i}r_{j}\ )dm=\int (\delta _{{ij}}r^{2}-r_{i}r_{j}\ )\rho dV,
где r — расстояния от точек до центра, относительно которого вычисляется тензор инерции, а ri — координатные компоненты соответствующих отрезков, i и j — номера координат (от 1 до 3), индекс же k (от 1 до N) в дискретной формуле нумерует точки системы или маленькие части, её составляющие.
Уже из этих формул явно видно, что тензор инерции любого тела зависит от точки, относительно которой он рассчитан. Обычно выделенную роль играет тензор инерции относительно центра масс тела (тогда p в третьей формуле — это просто импульс тела). Также может быть удобно пользоваться моментом инерции, рассчитанным относительно закрепленной (неподвижной) точки тела или точки, находящейся на закреплённой оси вращения. Пересчёт тензора инерции для нового центра, зная его относительно старого, позволяет легко осуществить теорема Штейнера (она же позволяет сделать это и в виде пересчёта, например, формулы кинетической энергии, позволяя, таким образом, оперировать только тензором инерции относительно центра масс).
Из этих же формул видно, что это симметричный тензор, то есть Jij=Jji.
В непрерывном виде формулу можно вывести следующим образом:
L → = ∫ ( m ) [ r → × ( v → d m ) ] = ρ ∫ ( V ) [ r → × [ ω → × r → ] ] d V {\displaystyle {\vec {L}}=\int \limits _{(m)}[\ {\vec {r}}\times (\ {\vec {v}}dm\ )\ ]=\rho \int \limits _{(V)}[\ {\vec {r}}\times [\ {\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\ ]\ ]dV} {\displaystyle {\vec {L}}=\int \limits _{(m)}[\ {\vec {r}}\times (\ {\vec {v}}dm\ )\ ]=\rho \int \limits _{(V)}[\ {\vec {r}}\times [\ {\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\ ]\ ]dV}
Откуда по формуле <<бац минус цаб>> получим
L → = ρ ∫ ( V ) [ r → × [ ω → r 2 × r → ( ω → , r → ) ] ] d V {\displaystyle {\vec {L}}=\rho \int \limits _{(V)}[\ {\vec {r}}\times [\ {\vec {\omega }}r^{2}\times {\vec {r}}({\vec {\omega }},\ {\vec {r}})\ ]\ ]dV} {\displaystyle {\vec {L}}=\rho \int \limits _{(V)}[\ {\vec {r}}\times [\ {\vec {\omega }}r^{2}\times {\vec {r}}({\vec {\omega }},\ {\vec {r}})\ ]\ ]dV}
Запишем разложение векторов v → {\displaystyle \ {\vec {v}}} {\displaystyle \ {\vec {v}}} и r → {\displaystyle \ {\vec {r}}} {\displaystyle \ {\vec {r}}} в ортонормированном базисе:
v → = x i → + y j → + z k → {\displaystyle \ {\vec {v}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}} {\displaystyle \ {\vec {v}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}}
r → = ω x i → + ω y j → + ω z k → {\displaystyle \ {\vec {r}}=\omega _{x}{\vec {i}}+\omega _{y}{\vec {j}}+\omega _{z}{\vec {k}}} {\displaystyle \ {\vec {r}}=\omega _{x}{\vec {i}}+\omega _{y}{\vec {j}}+\omega _{z}{\vec {k}}}
По свойствам скалярного произведения,
( ω → , r → ) = x ω x + y ω y + z ω z {\displaystyle \ ({\vec {\omega }},\ {\vec {r}})=x\omega _{x}+y\omega _{y}+z\omega _{z}} {\displaystyle \ ({\vec {\omega }},\ {\vec {r}})=x\omega _{x}+y\omega _{y}+z\omega _{z}}
С учетом того, что r 2 = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle \ r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}} {\displaystyle \ r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}} можем записать проекции вектора момента импульса на оси:
L x = ρ ∫ ( V ) ( ω x ( x 2 + y 2 + z 2 ) − x ( x ω x + y ω y + z ω z ) ) d V {\displaystyle L_{x}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})-x(x\omega _{x}+y\omega _{y}+z\omega _{z})\right)dV} {\displaystyle L_{x}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})-x(x\omega _{x}+y\omega _{y}+z\omega _{z})\right)dV}
Или, приведя подобные слагаемые
L x = ρ ∫ ( V ) ( ω x ( y 2 + z 2 ) − ω y x y − ω z x z ) d V {\displaystyle L_{x}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{x}(y^{2}+z^{2})-\omega _{y}xy-\omega _{z}xz\right)dV} {\displaystyle L_{x}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{x}(y^{2}+z^{2})-\omega _{y}xy-\omega _{z}xz\right)dV}
Аналогично
L y = ρ ∫ ( V ) ( ω y ( x 2 + z 2 ) − ω x y x − ω y y z ) d V {\displaystyle L_{y}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{y}(x^{2}+z^{2})-\omega _{x}yx-\omega _{y}yz\right)dV} {\displaystyle L_{y}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{y}(x^{2}+z^{2})-\omega _{x}yx-\omega _{y}yz\right)dV}
L z = ρ ∫ ( V ) ( ω z ( x 2 + y 2 ) − ω x z x − ω z z y ) d V {\displaystyle L_{z}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{z}(x^{2}+y^{2})-\omega _{x}zx-\omega _{z}zy\right)dV} {\displaystyle L_{z}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{z}(x^{2}+y^{2})-\omega _{x}zx-\omega _{z}zy\right)dV}
Введем обозначения:
J x x = ρ ∫ ( V ) ( y 2 + z 2 ) d V {\displaystyle J_{xx}=\rho \int \limits _{(V)}(y^{2}+z^{2})dV} {\displaystyle J_{xx}=\rho \int \limits _{(V)}(y^{2}+z^{2})dV}
J y y = ρ ∫ ( V ) ( x 2 + z 2 ) d V {\displaystyle J_{yy}=\rho \int \limits _{(V)}(x^{2}+z^{2})dV} {\displaystyle J_{yy}=\rho \int \limits _{(V)}(x^{2}+z^{2})dV}
J z z = ρ ∫ ( V ) ( x 2 + y 2 ) d V {\displaystyle J_{zz}=\rho \int \limits _{(V)}(x^{2}+y^{2})dV} {\displaystyle J_{zz}=\rho \int \limits _{(V)}(x^{2}+y^{2})dV}
J x y = J y x = − ρ ∫ ( V ) x y d V {\displaystyle J_{xy}=J_{yx}=-\rho \int \limits _{(V)}xydV} {\displaystyle J_{xy}=J_{yx}=-\rho \int \limits _{(V)}xydV}
J x z = J z x = − ρ ∫ ( V ) x z d V {\displaystyle J_{xz}=J_{zx}=-\rho \int \limits _{(V)}xzdV} {\displaystyle J_{xz}=J_{zx}=-\rho \int \limits _{(V)}xzdV}
J y z = J z y = − ρ ∫ ( V ) y z d V {\displaystyle J_{yz}=J_{zy}=-\rho \int \limits _{(V)}yzdV} {\displaystyle J_{yz}=J_{zy}=-\rho \int \limits _{(V)}yzdV}
Из них можно составить тензор инерции в матричном виде:
J = | J x x J x y J x z J y x J y y J y z J z x J z y J z z | {\displaystyle J={\begin{vmatrix}J_{xx}&J_{xy}&J_{xz}\\J_{yx}&J_{yy}&J_{yz}\\J_{zx}&J_{zy}&J_{zz}\\\end{vmatrix}}} {\displaystyle J={\begin{vmatrix}J_{xx}&J_{xy}&J_{xz}\\J_{yx}&J_{yy}&J_{yz}\\J_{zx}&J_{zy}&J_{zz}\\\end{vmatrix}}}
Легко проверить, что согласно нашим обозначениям, верна тензорная связь:
{ L x = J x x ω x + J x y ω y + J x z ω z L y = J y x ω x + J y y ω y + J y z ω z L z = J z x ω x + J z y ω y + J z z ω z {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}L_{x}=J_{xx}\omega _{x}+J_{xy}\omega _{y}+J_{xz}\omega _{z}\\L_{y}=J_{yx}\omega _{x}+J_{yy}\omega _{y}+J_{yz}\omega _{z}\\L_{z}=J_{zx}\omega _{x}+J_{zy}\omega _{y}+J_{zz}\omega _{z}\\\end{aligned}}\right.} {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}L_{x}=J_{xx}\omega _{x}+J_{xy}\omega _{y}+J_{xz}\omega _{z}\\L_{y}=J_{yx}\omega _{x}+J_{yy}\omega _{y}+J_{yz}\omega _{z}\\L_{z}=J_{zx}\omega _{x}+J_{zy}\omega _{y}+J_{zz}\omega _{z}\\\end{aligned}}\right.}
Как и любой симметричный тензор, тензор инерции может быть диагонализован, то есть можно найти три ортогональные оси координат (собственные оси, орты которых являются собственными векторами и образуют собственный базис тензора инерции) — жестко связанные, конечно, с твёрдым телом, — в которых матрица тензора инерции диагональна, и её собственные числа (собственные числа тензора инерции) определяют главные моменты инерции тела[1].
Нетрудно видеть, что главные моменты инерции совпадают с осевыми моментами инерции относительно главных осей:
J x x = ∫ ( y 2 + z 2 ) d m = ∫ r y z 2 d m {\displaystyle \ J_{xx}=\int (y^{2}+z^{2})dm=\int r_{yz}^{2}dm} \ J_{{xx}}=\int (y^{2}+z^{2})dm=\int r_{{yz}}^{2}dm,
J y y = ∫ ( x 2 + z 2 ) d m = ∫ r x z 2 d m {\displaystyle \ J_{yy}=\int (x^{2}+z^{2})dm=\int r_{xz}^{2}dm} \ J_{{yy}}=\int (x^{2}+z^{2})dm=\int r_{{xz}}^{2}dm,
J z z = ∫ ( x 2 + y 2 ) d m = ∫ r x y 2 d m {\displaystyle \ J_{zz}=\int (x^{2}+y^{2})dm=\int r_{xy}^{2}dm} \ J_{{zz}}=\int (x^{2}+y^{2})dm=\int r_{{xy}}^{2}dm,
(внимание: x, y и z в этих формулах подразумевают именно главные оси, если мы хотим совпадения с главными моментами).
Все формулы этой статьи предполагали использование ортонормированного базиса, поэтому используются только нижние тензорные индексы, так как в этом случае между верхними и нижними индексами нет разницы.
Тензор инерции можно считать обобщением понятия момента инерции относительно оси; связь этих величин — см. в статье Момент инерции (там собственные числа тензора инерции обозначены как J X , J Y , J Z {\displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z}} {\displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z}}). При чтении статьи по ссылке следует иметь в виду некоторое различие обозначений, так, в той статье J x y , J y z , J z x {\displaystyle J_{xy},J_{yz},J_{zx}} {\displaystyle J_{xy},J_{yz},J_{zx}} обозначены не соответствующие компоненты тензора инерции, а центробежные моменты инерции, которые совпадают по модулю с соответствующими компонентами тензора, но имеют противоположный знак.
Другие применения термина
Иногда термин тензор инерции применяется к математически аналогичным конструкциям, не имеющим прямого механического смысла, например, если ρ в формулах — не плотность массы, а плотность других величин, например, плотность статистического распределения; да и пространство, в котором происходит расчет может быть в принципе любым, хотя при этом наиболее осмыслен случай одинаковой природы всех осей (то есть одинаковых единиц измерения по ним). Это применение термина представляет собой прямую геометрическую аналогию, так же, как применение таких терминов, как центр масс или центр тяжести в подобном контексте.
В случае применения термина тензор инерции к плотностям распределений, особенно если он считается относительно «центра тяжести», речь идет по сути о матрице ковариации, причем задача нахождения её собственных векторов и собственных чисел также может обсуждаться в терминах «главных осей» и «главных моментов», что соответствует не только аналогии с моментом инерции, но и вполне строгой терминологии вторых моментов многомерного распределения (многомерной случайной величины) в статистике (и суть, и терминология здесь могут быть очень близки). При этом, в двумерном случае тензор инерции и матрица ковариации в собственных осях полностью совпадают — с точностью до перестановки осей, а в случаях большей размерности речь идет не о совпадающих, а только о близко связанных формально и по смыслу матрицах, диагонализующихся при этом в одном и том же базисе (имеющих одни и те же собственные оси).
См. также
Момент инерции
Теорема Штейнера
Тензор гирации (англ.)
Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера (теорема Гюйгенса, теорема Штейнера): момент инерции J {\displaystyle J} J тела относительно произвольной неподвижной оси равен сумме момента инерции этого тела J C {\displaystyle J_{C}} J_{C} относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m {\displaystyle m} m на квадрат расстояния d {\displaystyle d} d между осями[1]:
J = J C + m d 2 , {\displaystyle J=J_{C}+md^{2},} {\displaystyle J=J_{C}+md^{2},}
где
J {\displaystyle J} J — искомый момент инерции относительно параллельной оси,
J C {\displaystyle J_{C}} J_{C} — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,
m {\displaystyle m} m — масса тела,
d {\displaystyle d} d — расстояние между указанными осями.
Теорема названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса.
Содержание
1 Вывод
2 Пример
3 Пересчёт тензора инерции
4 См. также
5 Примечания
Вывод
Будем рассматривать абсолютно твёрдое тело, образованное совокупностью материальных точек[2].
По определению момента инерции для J C {\displaystyle J_{C}} J_{C} и J {\displaystyle J} J можно записать
J C = ∑ i = 1 n m i ( r i ) 2 , {\displaystyle J_{C}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2},} {\displaystyle J_{C}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2},}
J = ∑ i = 1 n m i ( r i ′ ) 2 , {\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} '_{i})^{2},} {\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} '_{i})^{2},}
где r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} — радиус-вектор точки тела в системе координат с началом, расположенным в центре масс, а r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} {\displaystyle \mathbf {r} '} — радиус-вектор точки в новой системе координат, через начало которой проходит новая ось.
Радиус-вектор r ′ i {\displaystyle \mathbf {r'} _{i}} {\displaystyle \mathbf {r'} _{i}} можно расписать как сумму двух векторов:
r i ′ = r i + d , {\displaystyle \mathbf {r} '_{i}=\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} ,} {\displaystyle \mathbf {r} '_{i}=\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} ,}
где d {\displaystyle \mathbf {d} } {\displaystyle \mathbf {d} } — радиус-вектор расстояния между старой (проходящей через центр масс) и новой осями вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид
J = ∑ i = 1 n m i ( r i ) 2 + 2 ∑ i = 1 n m i r i d + ∑ i = 1 n m i ( d ) 2 . {\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+2\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}\mathbf {d} +\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {d} )^{2}.} {\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+2\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}\mathbf {d} +\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {d} )^{2}.}
Вынося d {\displaystyle \mathbf {d} } {\displaystyle \mathbf {d} } за сумму, получим
J = ∑ i = 1 n m i ( r i ) 2 + 2 d ∑ i = 1 n m i r i + d 2 ∑ i = 1 n m i . {\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+2\mathbf {d} \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}.} {\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+2\mathbf {d} \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}.}
По определению центра масс, для его радиус-вектора r c {\displaystyle \mathbf {r} _{c}} {\displaystyle \mathbf {r} _{c}} выполняется
r c = ∑ i m i r i ∑ i m i . {\displaystyle \mathbf {r} _{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}}}.} {\displaystyle \mathbf {r} _{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}}}.}
Поскольку в системе координат с началом, расположенным в центре масс, радиус-вектор центра масс равен нулю, то равна нулю и сумма ∑ i = 1 n m i r i {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}} {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}}.
Тогда
J = ∑ i = 1 n m i ( r i ) 2 + d 2 ∑ i = 1 n m i , {\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i},} {\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i},}
откуда и следует искомая формула:
J = J C + m d 2 , {\displaystyle J=J_{C}+md^{2},} {\displaystyle J=J_{C}+md^{2},}
где J C {\displaystyle J_{C}} J_{C} — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.
Если тело состоит не из материальных точек, а образовано непрерывно распределённой массой, то во всех приведённых выше формулах суммирование заменяется интегрированием. Ход рассуждения при этом остаётся прежним.
Следствие. Из полученной формулы очевидно, что J > J C {\displaystyle J>J_{C}} J > J_C. Поэтому можно утверждать: момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, является наименьшим среди всех моментов инерции тела относительно осей, имеющих данное направление.
Пример
Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной стержню, (назовём её осью C {\displaystyle C} C) равен
J C = m L 2 12 . {\displaystyle J_{C}={\frac {mL^{2}}{12}}.} {\displaystyle J_{C}={\frac {mL^{2}}{12}}.}
Тогда, согласно теореме Штейнера, его момент относительно произвольной параллельной оси будет равен
J = J C + m d 2 , {\displaystyle J=J_{C}+md^{2},} {\displaystyle J=J_{C}+md^{2},}
где d {\displaystyle d} d — расстояние между искомой осью и осью C {\displaystyle C} C. В частности, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню, можно найти положив в последней формуле d = L / 2 {\displaystyle d=L/2} {\displaystyle d=L/2}:
J = J C + m ( L 2 ) 2 = m L 2 12 + m L 2 4 = m L 2 3 . {\displaystyle J=J_{C}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{12}}+{\frac {mL^{2}}{4}}={\frac {mL^{2}}{3}}.} {\displaystyle J=J_{C}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{12}}+{\frac {mL^{2}}{4}}={\frac {mL^{2}}{3}}.}
Пересчёт тензора инерции
Теорема Гюйгенса — Штейнера допускает обобщение на тензор момента инерции, что позволяет получать тензор J ^ i j {\displaystyle {\hat {J}}_{ij}} {\displaystyle {\hat {J}}_{ij}} относительно произвольной точки из тензора I ^ i j {\displaystyle {\hat {I}}_{ij}} {\displaystyle {\hat {I}}_{ij}} относительно центра масс. Пусть a {\displaystyle \mathbf {a} } {\mathbf {a}} — смещение от центра масс, тогда
J ^ i j = I ^ i j + m ( a 2 δ i j − a i a j ) , {\displaystyle {\hat {J}}_{ij}={\hat {I}}_{ij}+m(a^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j}),} {\displaystyle {\hat {J}}_{ij}={\hat {I}}_{ij}+m(a^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j}),}
где
a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})} {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})} — вектор смещения от центра масс, а δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} \delta _{{ij}} — символ Кронекера.
Как видно, для диагональных элементов тензора (при i = j {\displaystyle i=j} i=j) формула имеет вид теоремы Гюйгенса — Штейнера для момента относительно новой оси.
См. также
@allison yeah, it's something between venting and shitposting
but it's also a nice opportunity to argue with 2k redditors without actually having to visit reddit
i have literally visited reddit twice and the website's format was so bad i hated it. then i read the comments i understood it's the same shit as here but in a bigger scale and the ppl are really REALLY stupid and low irl... the discussions and the amount holy shit fuck dat place. also worrying if ur post gets upvoted or downvoted rofl
doubled down
nearly unloseable game but we lose anyway because my entire team decides to rush under enemy fountain after getting top rax (other t2s were still alive so even if they'd beat their team there was like 0 gain) so they lose bkbs and aegis too
after we still somehow defend, my slark decides to casually run into 4 people when we can comfortable def hg and we lose
then he tells me something about not picking aa and buying midas
lol bro what is your behavior score its looks rly fucked up, if mostly of your games are as you describe? btw stop argue with jacked, he is a real retarded 1k player. yeah retarded is a term that is used to much in dota , but in this case it is real trust me im sure he is a real retarded. you can say that by reading jsut 2-3 random of his comments .
On one acc I have 15 reports and abandons. Its rofl hidden pool.
https://www.dotabuff.com/matches/3212339530
This guy play mid pudge with barely 300 gpm
dude stop blaming your team , some of them , yes ur team fault
but in lost streak , there must be something wrong with you
you are one of the blamer , look at urself man
without pinging? then i'll just lose, 4ks rarely notice that they're playing dota 2 videogame until their last lane of raxs starts falling apart and they realise that they're supposed to defend the ancient
also my latest conduct summary was the first one when i had over 2 reports (5) past two weeks or so
PMA is just a way for retards without skill to win games
this is why selective memory is a bitch. until you;ve counted the number of times ruiners were in your team vs opposing, and seeing if it was statistically significant, this is still match making as intended.
Yes, Valve is on you. He is tired of you winning the games so he puts retard Axes in your team so they can sabotage ONLY YOU and no one else so you drop MMR. Perfect logic.
Go to sleep kiddo, you have 125 hours in last 2 weeks.
maybe ping like a normal human being, type and communicate like a normal human being, and stop tilting your teammates. pma wil get you those games without any changes in your skill. lol
oh shit no you found me after playing 40 games i decided to play one game fOR FUN XD to see how it feels like being absolute deadweight who loses the game! it's was me the whole time, plotting this matchmaking tomfoolery!
no, wait. i had a jungler in my team again.
shut up
[Part 1: Summer Cem]
Wir stürm'n dein Provinznest mit Faysal und Hikmet
Meine Jungs zeigen kein bisschen Respect (hu!)
Ihr habt keine Nüsse, ihr habt NicNac's
Fick' deine Mutter als ob ich sie vermisst hätt'
Pimpslaps, links, rechts
Ich mach' dich heut zu meiner Prinzessin
Ich will seh'n, wie du Hund jetzt mein'n Tisch deckst
Ich hab' Tabasco in meinem Hipbag
Summer Cem, Summer Cem (ah)
Gib es zu, ihr seid alle meine Fans (jaja)
Komm mal hier, komm mal hier
Deine Jungs werden rumkommandiert (hu! hu!)
[Pre-Hook: Summer Cem]
Keine Zeit, Alter, nicht jetzt
Vielleicht später, aber nicht jetzt
Klar könn'n wir reden, aber nicht jetzt
Ich will wissen, wie's dir geht, aber nicht jetzt
[Hook: KC Rebell & Summer Cem]
Nicht jetzt, nicht jetzt
Zeit sich zu ändern, aber nicht jetzt
Nicht jetzt, nicht jetzt
Wann dann, wenn nicht jetzt? (hu!)
[Part 2: KC Rebell]
Meine Weste ist stichfest (ah)
Ein falscher Blick und es gibt Stress (was?)
Wer wollte reden, der spricht jetzt (yallah)
*Dup dup dup dup* ist dein Kismet (huh!)
Der Polizist will einen Pisstest
Wegen fünf Schwarzköpfen in 'nem X6
Ihr seid kleine Forellen in mei'm Fischnetz
Fick seine Mutter, wer nicht mitrappt
Ich bin fedakar, fedakar
Ich handel' im Guten und denk' nicht an Kâr
Patte hin, Patte her
Ich hab' damals schon immer was geklärt (ja, ja, ja)
[Pre-Hook: KC Rebell]
Keine Zeit, Alter, nicht jetzt
Vielleicht später, aber nicht jetzt
Klar könn'n wir reden, aber nicht jetzt
Ich will wissen, wie's dir geht, aber nicht jetzt
[Hook: KC Rebell & Summer Cem]
Nicht jetzt, nicht jetzt
Zeit sich zu ändern, aber nicht jetzt
Nicht jetzt, nicht jetzt
Wann dann, wenn nicht jetzt?
Nicht jetzt, nicht jetzt
[Part 3: Summer Cem & KC Rebell]
VIP, VIP
Wie Notorious B.I.G. (G)
Appetit, Appetit
Sie verfolgen uns per Satellit
Manikür', Pedikür'
Zehn Fotzen steh'n vor der Tür (hür)
Butterfly, Butterfly
Ich hab' scharfe Klingen mit dabei (aiaiai)
Serseri, serseri
Salāmu ʿalaikum, c'est la vie (hu! hu!)
Fetter Beat, fetter Beat
Juh-Dee, du bist ein Freak! (mies!)
[Hook: KC Rebell & Summer Cem]
Nicht jetzt, nicht jetzt
Zeit sich zu ändern, aber nicht jetzt
Nicht jetzt, nicht jetzt
Wann dann, wenn nicht jetzt?
Nicht jetzt, nicht jetzt
Zeit sich zu ändern, aber nicht jetzt
Nicht jetzt, nicht jetzt
Wann dann, wenn nicht jetzt?
those are rookie numbers
you know what's the funniest shit you havent seen a single thing that happened in my recent games yet you try to judge and educate me about what exactly i'm doing
i think that now you should go and download that pudge game to prove me wrong and tell me that all of my losses were actually caused by my terrible pick, poor playing and feed!
mb u try not to pick pudgem id
yea youre right. i just assumed because someone said something about not pinging to improve your matchmaking pool. and you responded to that, so i assumed improving behaviour score is actually important to you that you would even consider it. so im just saying u can still ping, but do it in a civilised way. essentially, act civilised to increase your behaviour score if you reall think you are shadow-poolled.
in times like this i feel a little sad for not being able to express myself properly or being at least decently skilled at argumentations because i just can't quite find the proper wording to show you how incredibly dumb you sound
im not gonna bother watching one game. because that doesnt prove anything u knucklehead.
what if you are matched with some guy that lost like 6 games in a row, frustrated at MM. And then his matched with you. YOu pick pudge and ruin his game. Dont you think that guy is also frustrated as you? Do you see the concept here and all the factors that influence direction in what way game will go?
happens too often to me
no need for that, i know how dumb i sound. anything else? question is.... do you know how dumb you sound? you've got literally pages of people trying to convince you. lo
on a real note here arin what exactly is the point of this thread you've been playing this game for at least 2 years now (right?) you most definitely know by now posting stuff like this here is not gonna have any impact on your games and is gonna improve them one bit
if its just venting its whatever i guess but if not i dont understand u
oh okay thanks i'll remember that next time my teammate kills me and ruins entire fight followed by cursing my family back to grean-great-grandfathers and destroying items because i left his lane to put out wards somewhere in 4th minute which clearly transitioned into having 3 items in 45th minute from pos 1
i can't help but wonder what you say to your teammates. i'd find it hard to believe if you tell me u dont flame or annoy them.
https://www.twitch.tv/arin_the_scrub/videos/all
:-)
although these are only the night games since my connection doesnt allow to stream in normal hours.
why u even play ranked for fun.... u ruining ur teammates game then.....
whatever, do what u do
sigh...
Тензор инерции — в механике абсолютно твёрдого тела — тензорная величина, связывающая момент импульса тела и кинетическую энергию его вращения с угловой скоростью:
L → = J ω → {\displaystyle \ {\vec {L}}=J{\vec {\omega }}} \ {\vec {L}}=J{\vec {\omega }}
где J {\displaystyle \ J} \ J — тензор инерции, ω → {\displaystyle \ {\vec {\omega }}} \ {\vec {\omega }} — угловая скорость, L → {\displaystyle {\vec {L}}} {\vec {L}} — момент импульса
E k i n r o t = 1 2 ω → T ⋅ J ⋅ ω → {\displaystyle \ E_{kin\ rot}={1 \over 2}\ {\vec {\omega }}^{\,T}\cdot J\cdot {\vec {\omega }}} {\displaystyle \ E_{kin\ rot}={1 \over 2}\ {\vec {\omega }}^{\,T}\cdot J\cdot {\vec {\omega }}}
E k i n = E k i n r o t + p 2 2 m {\displaystyle \ E_{kin}=E_{kin\ rot}+{p^{2} \over 2m}} \ E_{{kin}}=E_{{kin\ rot}}+{p^{2} \over 2m},
в компонентах это выглядит так:
L i = ∑ j J i j ω j {\displaystyle \ L_{i}=\sum _{j}J_{ij}\omega _{j}} \ L_{i}=\sum _{j}J_{{ij}}\omega _{j}
E k i n r o t = 1 2 ∑ i j ω i J i j ω j {\displaystyle \ E_{kin\ rot}={1 \over 2}\sum _{ij}\omega _{i}J_{ij}\omega _{j}} \ E_{{kin\ rot}}={1 \over 2}\sum _{{ij}}\omega _{i}J_{{ij}}\omega _{j}
Используя определение момента импульса системы N материальных точек (перенумерованных в формулах ниже индексом k):
L → = ∑ k = 1 N [ r → k × ( m k v → k ) ] {\displaystyle \ {\vec {L}}=\sum _{k=1}^{N}[\ {\vec {r}}_{k}\times (\ m_{k}\ {\vec {v}}_{k}\ )\ ]} {\displaystyle \ {\vec {L}}=\sum _{k=1}^{N}[\ {\vec {r}}_{k}\times (\ m_{k}\ {\vec {v}}_{k}\ )\ ]}
и кинематическое выражение для скорости через угловую скорость:
v → = [ ω → × r → ] {\displaystyle \ {\vec {v}}=[\ {\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\ ]} \ {\vec {v}}=[\ {\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\ ]
и сравнивая с формулой, выражающей момент импульса через тензор инерции и угловую скорость (первой в этой статье), нетрудно получить явное выражение для тензора инерции:
J i j = ∑ k ( m k ( δ i j r k 2 − r i k r j k ) ) ) {\displaystyle \ J_{ij}=\sum _{k}(\ m_{k}\ (\delta _{ij}r_{k}^{2}-r_{i_{k}}r_{j_{k}})\ ))} {\displaystyle \ J_{ij}=\sum _{k}(\ m_{k}\ (\delta _{ij}r_{k}^{2}-r_{i_{k}}r_{j_{k}})\ ))}
или в непрерывном виде:
J i j = ∫ ( δ i j r 2 − r i r j ) d m = ∫ ( δ i j r 2 − r i r j ) ρ d V {\displaystyle \ J_{ij}=\int (\delta _{ij}r^{2}-r_{i}r_{j}\ )dm=\int (\delta _{ij}r^{2}-r_{i}r_{j}\ )\rho dV} \ J_{{ij}}=\int (\delta _{{ij}}r^{2}-r_{i}r_{j}\ )dm=\int (\delta _{{ij}}r^{2}-r_{i}r_{j}\ )\rho dV,
где r — расстояния от точек до центра, относительно которого вычисляется тензор инерции, а ri — координатные компоненты соответствующих отрезков, i и j — номера координат (от 1 до 3), индекс же k (от 1 до N) в дискретной формуле нумерует точки системы или маленькие части, её составляющие.
Уже из этих формул явно видно, что тензор инерции любого тела зависит от точки, относительно которой он рассчитан. Обычно выделенную роль играет тензор инерции относительно центра масс тела (тогда p в третьей формуле — это просто импульс тела). Также может быть удобно пользоваться моментом инерции, рассчитанным относительно закрепленной (неподвижной) точки тела или точки, находящейся на закреплённой оси вращения. Пересчёт тензора инерции для нового центра, зная его относительно старого, позволяет легко осуществить теорема Штейнера (она же позволяет сделать это и в виде пересчёта, например, формулы кинетической энергии, позволяя, таким образом, оперировать только тензором инерции относительно центра масс).
Из этих же формул видно, что это симметричный тензор, то есть Jij=Jji.
В непрерывном виде формулу можно вывести следующим образом:
L → = ∫ ( m ) [ r → × ( v → d m ) ] = ρ ∫ ( V ) [ r → × [ ω → × r → ] ] d V {\displaystyle {\vec {L}}=\int \limits _{(m)}[\ {\vec {r}}\times (\ {\vec {v}}dm\ )\ ]=\rho \int \limits _{(V)}[\ {\vec {r}}\times [\ {\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\ ]\ ]dV} {\displaystyle {\vec {L}}=\int \limits _{(m)}[\ {\vec {r}}\times (\ {\vec {v}}dm\ )\ ]=\rho \int \limits _{(V)}[\ {\vec {r}}\times [\ {\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\ ]\ ]dV}
Откуда по формуле <<бац минус цаб>> получим
L → = ρ ∫ ( V ) [ r → × [ ω → r 2 × r → ( ω → , r → ) ] ] d V {\displaystyle {\vec {L}}=\rho \int \limits _{(V)}[\ {\vec {r}}\times [\ {\vec {\omega }}r^{2}\times {\vec {r}}({\vec {\omega }},\ {\vec {r}})\ ]\ ]dV} {\displaystyle {\vec {L}}=\rho \int \limits _{(V)}[\ {\vec {r}}\times [\ {\vec {\omega }}r^{2}\times {\vec {r}}({\vec {\omega }},\ {\vec {r}})\ ]\ ]dV}
Запишем разложение векторов v → {\displaystyle \ {\vec {v}}} {\displaystyle \ {\vec {v}}} и r → {\displaystyle \ {\vec {r}}} {\displaystyle \ {\vec {r}}} в ортонормированном базисе:
v → = x i → + y j → + z k → {\displaystyle \ {\vec {v}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}} {\displaystyle \ {\vec {v}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}}
r → = ω x i → + ω y j → + ω z k → {\displaystyle \ {\vec {r}}=\omega _{x}{\vec {i}}+\omega _{y}{\vec {j}}+\omega _{z}{\vec {k}}} {\displaystyle \ {\vec {r}}=\omega _{x}{\vec {i}}+\omega _{y}{\vec {j}}+\omega _{z}{\vec {k}}}
По свойствам скалярного произведения,
( ω → , r → ) = x ω x + y ω y + z ω z {\displaystyle \ ({\vec {\omega }},\ {\vec {r}})=x\omega _{x}+y\omega _{y}+z\omega _{z}} {\displaystyle \ ({\vec {\omega }},\ {\vec {r}})=x\omega _{x}+y\omega _{y}+z\omega _{z}}
С учетом того, что r 2 = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle \ r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}} {\displaystyle \ r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}} можем записать проекции вектора момента импульса на оси:
L x = ρ ∫ ( V ) ( ω x ( x 2 + y 2 + z 2 ) − x ( x ω x + y ω y + z ω z ) ) d V {\displaystyle L_{x}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})-x(x\omega _{x}+y\omega _{y}+z\omega _{z})\right)dV} {\displaystyle L_{x}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})-x(x\omega _{x}+y\omega _{y}+z\omega _{z})\right)dV}
Или, приведя подобные слагаемые
L x = ρ ∫ ( V ) ( ω x ( y 2 + z 2 ) − ω y x y − ω z x z ) d V {\displaystyle L_{x}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{x}(y^{2}+z^{2})-\omega _{y}xy-\omega _{z}xz\right)dV} {\displaystyle L_{x}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{x}(y^{2}+z^{2})-\omega _{y}xy-\omega _{z}xz\right)dV}
Аналогично
L y = ρ ∫ ( V ) ( ω y ( x 2 + z 2 ) − ω x y x − ω y y z ) d V {\displaystyle L_{y}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{y}(x^{2}+z^{2})-\omega _{x}yx-\omega _{y}yz\right)dV} {\displaystyle L_{y}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{y}(x^{2}+z^{2})-\omega _{x}yx-\omega _{y}yz\right)dV}
L z = ρ ∫ ( V ) ( ω z ( x 2 + y 2 ) − ω x z x − ω z z y ) d V {\displaystyle L_{z}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{z}(x^{2}+y^{2})-\omega _{x}zx-\omega _{z}zy\right)dV} {\displaystyle L_{z}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{z}(x^{2}+y^{2})-\omega _{x}zx-\omega _{z}zy\right)dV}
Введем обозначения:
J x x = ρ ∫ ( V ) ( y 2 + z 2 ) d V {\displaystyle J_{xx}=\rho \int \limits _{(V)}(y^{2}+z^{2})dV} {\displaystyle J_{xx}=\rho \int \limits _{(V)}(y^{2}+z^{2})dV}
J y y = ρ ∫ ( V ) ( x 2 + z 2 ) d V {\displaystyle J_{yy}=\rho \int \limits _{(V)}(x^{2}+z^{2})dV} {\displaystyle J_{yy}=\rho \int \limits _{(V)}(x^{2}+z^{2})dV}
J z z = ρ ∫ ( V ) ( x 2 + y 2 ) d V {\displaystyle J_{zz}=\rho \int \limits _{(V)}(x^{2}+y^{2})dV} {\displaystyle J_{zz}=\rho \int \limits _{(V)}(x^{2}+y^{2})dV}
J x y = J y x = − ρ ∫ ( V ) x y d V {\displaystyle J_{xy}=J_{yx}=-\rho \int \limits _{(V)}xydV} {\displaystyle J_{xy}=J_{yx}=-\rho \int \limits _{(V)}xydV}
J x z = J z x = − ρ ∫ ( V ) x z d V {\displaystyle J_{xz}=J_{zx}=-\rho \int \limits _{(V)}xzdV} {\displaystyle J_{xz}=J_{zx}=-\rho \int \limits _{(V)}xzdV}
J y z = J z y = − ρ ∫ ( V ) y z d V {\displaystyle J_{yz}=J_{zy}=-\rho \int \limits _{(V)}yzdV} {\displaystyle J_{yz}=J_{zy}=-\rho \int \limits _{(V)}yzdV}
Из них можно составить тензор инерции в матричном виде:
J = | J x x J x y J x z J y x J y y J y z J z x J z y J z z | {\displaystyle J={\begin{vmatrix}J_{xx}&J_{xy}&J_{xz}\\J_{yx}&J_{yy}&J_{yz}\\J_{zx}&J_{zy}&J_{zz}\\\end{vmatrix}}} {\displaystyle J={\begin{vmatrix}J_{xx}&J_{xy}&J_{xz}\\J_{yx}&J_{yy}&J_{yz}\\J_{zx}&J_{zy}&J_{zz}\\\end{vmatrix}}}
Легко проверить, что согласно нашим обозначениям, верна тензорная связь:
{ L x = J x x ω x + J x y ω y + J x z ω z L y = J y x ω x + J y y ω y + J y z ω z L z = J z x ω x + J z y ω y + J z z ω z {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}L_{x}=J_{xx}\omega _{x}+J_{xy}\omega _{y}+J_{xz}\omega _{z}\\L_{y}=J_{yx}\omega _{x}+J_{yy}\omega _{y}+J_{yz}\omega _{z}\\L_{z}=J_{zx}\omega _{x}+J_{zy}\omega _{y}+J_{zz}\omega _{z}\\\end{aligned}}\right.} {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}L_{x}=J_{xx}\omega _{x}+J_{xy}\omega _{y}+J_{xz}\omega _{z}\\L_{y}=J_{yx}\omega _{x}+J_{yy}\omega _{y}+J_{yz}\omega _{z}\\L_{z}=J_{zx}\omega _{x}+J_{zy}\omega _{y}+J_{zz}\omega _{z}\\\end{aligned}}\right.}
Как и любой симметричный тензор, тензор инерции может быть диагонализован, то есть можно найти три ортогональные оси координат (собственные оси, орты которых являются собственными векторами и образуют собственный базис тензора инерции) — жестко связанные, конечно, с твёрдым телом, — в которых матрица тензора инерции диагональна, и её собственные числа (собственные числа тензора инерции) определяют главные моменты инерции тела[1].
Нетрудно видеть, что главные моменты инерции совпадают с осевыми моментами инерции относительно главных осей:
J x x = ∫ ( y 2 + z 2 ) d m = ∫ r y z 2 d m {\displaystyle \ J_{xx}=\int (y^{2}+z^{2})dm=\int r_{yz}^{2}dm} \ J_{{xx}}=\int (y^{2}+z^{2})dm=\int r_{{yz}}^{2}dm,
J y y = ∫ ( x 2 + z 2 ) d m = ∫ r x z 2 d m {\displaystyle \ J_{yy}=\int (x^{2}+z^{2})dm=\int r_{xz}^{2}dm} \ J_{{yy}}=\int (x^{2}+z^{2})dm=\int r_{{xz}}^{2}dm,
J z z = ∫ ( x 2 + y 2 ) d m = ∫ r x y 2 d m {\displaystyle \ J_{zz}=\int (x^{2}+y^{2})dm=\int r_{xy}^{2}dm} \ J_{{zz}}=\int (x^{2}+y^{2})dm=\int r_{{xy}}^{2}dm,
(внимание: x, y и z в этих формулах подразумевают именно главные оси, если мы хотим совпадения с главными моментами).
Все формулы этой статьи предполагали использование ортонормированного базиса, поэтому используются только нижние тензорные индексы, так как в этом случае между верхними и нижними индексами нет разницы.
Тензор инерции можно считать обобщением понятия момента инерции относительно оси; связь этих величин — см. в статье Момент инерции (там собственные числа тензора инерции обозначены как J X , J Y , J Z {\displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z}} {\displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z}}). При чтении статьи по ссылке следует иметь в виду некоторое различие обозначений, так, в той статье J x y , J y z , J z x {\displaystyle J_{xy},J_{yz},J_{zx}} {\displaystyle J_{xy},J_{yz},J_{zx}} обозначены не соответствующие компоненты тензора инерции, а центробежные моменты инерции, которые совпадают по модулю с соответствующими компонентами тензора, но имеют противоположный знак.
Другие применения термина
Иногда термин тензор инерции применяется к математически аналогичным конструкциям, не имеющим прямого механического смысла, например, если ρ в формулах — не плотность массы, а плотность других величин, например, плотность статистического распределения; да и пространство, в котором происходит расчет может быть в принципе любым, хотя при этом наиболее осмыслен случай одинаковой природы всех осей (то есть одинаковых единиц измерения по ним). Это применение термина представляет собой прямую геометрическую аналогию, так же, как применение таких терминов, как центр масс или центр тяжести в подобном контексте.
В случае применения термина тензор инерции к плотностям распределений, особенно если он считается относительно «центра тяжести», речь идет по сути о матрице ковариации, причем задача нахождения её собственных векторов и собственных чисел также может обсуждаться в терминах «главных осей» и «главных моментов», что соответствует не только аналогии с моментом инерции, но и вполне строгой терминологии вторых моментов многомерного распределения (многомерной случайной величины) в статистике (и суть, и терминология здесь могут быть очень близки). При этом, в двумерном случае тензор инерции и матрица ковариации в собственных осях полностью совпадают — с точностью до перестановки осей, а в случаях большей размерности речь идет не о совпадающих, а только о близко связанных формально и по смыслу матрицах, диагонализующихся при этом в одном и том же базисе (имеющих одни и те же собственные оси).
См. также
Момент инерции
Теорема Штейнера
Тензор гирации (англ.)
Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера (теорема Гюйгенса, теорема Штейнера): момент инерции J {\displaystyle J} J тела относительно произвольной неподвижной оси равен сумме момента инерции этого тела J C {\displaystyle J_{C}} J_{C} относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m {\displaystyle m} m на квадрат расстояния d {\displaystyle d} d между осями[1]:
J = J C + m d 2 , {\displaystyle J=J_{C}+md^{2},} {\displaystyle J=J_{C}+md^{2},}
где
J {\displaystyle J} J — искомый момент инерции относительно параллельной оси,
J C {\displaystyle J_{C}} J_{C} — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,
m {\displaystyle m} m — масса тела,
d {\displaystyle d} d — расстояние между указанными осями.
Теорема названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса.
Содержание
1 Вывод
2 Пример
3 Пересчёт тензора инерции
4 См. также
5 Примечания
Вывод
Будем рассматривать абсолютно твёрдое тело, образованное совокупностью материальных точек[2].
По определению момента инерции для J C {\displaystyle J_{C}} J_{C} и J {\displaystyle J} J можно записать
J C = ∑ i = 1 n m i ( r i ) 2 , {\displaystyle J_{C}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2},} {\displaystyle J_{C}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2},}
J = ∑ i = 1 n m i ( r i ′ ) 2 , {\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} '_{i})^{2},} {\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} '_{i})^{2},}
где r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} — радиус-вектор точки тела в системе координат с началом, расположенным в центре масс, а r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} {\displaystyle \mathbf {r} '} — радиус-вектор точки в новой системе координат, через начало которой проходит новая ось.
Радиус-вектор r ′ i {\displaystyle \mathbf {r'} _{i}} {\displaystyle \mathbf {r'} _{i}} можно расписать как сумму двух векторов:
r i ′ = r i + d , {\displaystyle \mathbf {r} '_{i}=\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} ,} {\displaystyle \mathbf {r} '_{i}=\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} ,}
где d {\displaystyle \mathbf {d} } {\displaystyle \mathbf {d} } — радиус-вектор расстояния между старой (проходящей через центр масс) и новой осями вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид
J = ∑ i = 1 n m i ( r i ) 2 + 2 ∑ i = 1 n m i r i d + ∑ i = 1 n m i ( d ) 2 . {\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+2\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}\mathbf {d} +\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {d} )^{2}.} {\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+2\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}\mathbf {d} +\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {d} )^{2}.}
Вынося d {\displaystyle \mathbf {d} } {\displaystyle \mathbf {d} } за сумму, получим
J = ∑ i = 1 n m i ( r i ) 2 + 2 d ∑ i = 1 n m i r i + d 2 ∑ i = 1 n m i . {\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+2\mathbf {d} \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}.} {\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+2\mathbf {d} \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}.}
По определению центра масс, для его радиус-вектора r c {\displaystyle \mathbf {r} _{c}} {\displaystyle \mathbf {r} _{c}} выполняется
r c = ∑ i m i r i ∑ i m i . {\displaystyle \mathbf {r} _{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}}}.} {\displaystyle \mathbf {r} _{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}}}.}
Поскольку в системе координат с началом, расположенным в центре масс, радиус-вектор центра масс равен нулю, то равна нулю и сумма ∑ i = 1 n m i r i {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}} {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}}.
Тогда
J = ∑ i = 1 n m i ( r i ) 2 + d 2 ∑ i = 1 n m i , {\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i},} {\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i},}
откуда и следует искомая формула:
J = J C + m d 2 , {\displaystyle J=J_{C}+md^{2},} {\displaystyle J=J_{C}+md^{2},}
где J C {\displaystyle J_{C}} J_{C} — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.
Если тело состоит не из материальных точек, а образовано непрерывно распределённой массой, то во всех приведённых выше формулах суммирование заменяется интегрированием. Ход рассуждения при этом остаётся прежним.
Следствие. Из полученной формулы очевидно, что J > J C {\displaystyle J>J_{C}} J > J_C. Поэтому можно утверждать: момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, является наименьшим среди всех моментов инерции тела относительно осей, имеющих данное направление.
Пример
Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной стержню, (назовём её осью C {\displaystyle C} C) равен
J C = m L 2 12 . {\displaystyle J_{C}={\frac {mL^{2}}{12}}.} {\displaystyle J_{C}={\frac {mL^{2}}{12}}.}
Тогда, согласно теореме Штейнера, его момент относительно произвольной параллельной оси будет равен
J = J C + m d 2 , {\displaystyle J=J_{C}+md^{2},} {\displaystyle J=J_{C}+md^{2},}
где d {\displaystyle d} d — расстояние между искомой осью и осью C {\displaystyle C} C. В частности, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню, можно найти положив в последней формуле d = L / 2 {\displaystyle d=L/2} {\displaystyle d=L/2}:
J = J C + m ( L 2 ) 2 = m L 2 12 + m L 2 4 = m L 2 3 . {\displaystyle J=J_{C}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{12}}+{\frac {mL^{2}}{4}}={\frac {mL^{2}}{3}}.} {\displaystyle J=J_{C}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{12}}+{\frac {mL^{2}}{4}}={\frac {mL^{2}}{3}}.}
Пересчёт тензора инерции
Теорема Гюйгенса — Штейнера допускает обобщение на тензор момента инерции, что позволяет получать тензор J ^ i j {\displaystyle {\hat {J}}_{ij}} {\displaystyle {\hat {J}}_{ij}} относительно произвольной точки из тензора I ^ i j {\displaystyle {\hat {I}}_{ij}} {\displaystyle {\hat {I}}_{ij}} относительно центра масс. Пусть a {\displaystyle \mathbf {a} } {\mathbf {a}} — смещение от центра масс, тогда
J ^ i j = I ^ i j + m ( a 2 δ i j − a i a j ) , {\displaystyle {\hat {J}}_{ij}={\hat {I}}_{ij}+m(a^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j}),} {\displaystyle {\hat {J}}_{ij}={\hat {I}}_{ij}+m(a^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j}),}
где
a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})} {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})} — вектор смещения от центра масс, а δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} \delta _{{ij}} — символ Кронекера.
Как видно, для диагональных элементов тензора (при i = j {\displaystyle i=j} i=j) формула имеет вид теоремы Гюйгенса — Штейнера для момента относительно новой оси.
См. также
Момент инерции
Список моментов инерции
i had a 7,7k guy random slark, take mid and proceed to feed just cuz he was in a party
not related to this topic but fuck these people
ROFL This thread is growing so fucking fast XD
@allison yeah, it's something between venting and shitposting
but it's also a nice opportunity to argue with 2k redditors without actually having to visit reddit
xd
2k ppl disagreeing with u =/= reddit
im pretty sure most of reddit actually has the same attitude as u more or less, they just cover it up better
we all remember how low prio was utterly broken few patches ago but 100% people who got the low prio deserved it according to redditors
that's my holy crusade against these specimens
i have literally visited reddit twice and the website's format was so bad i hated it. then i read the comments i understood it's the same shit as here but in a bigger scale and the ppl are really REALLY stupid and low irl... the discussions and the amount holy shit fuck dat place. also worrying if ur post gets upvoted or downvoted rofl
how about this
Hao
))))))))))
https://www.dotabuff.com/matches/3221236177
doubled down
nearly unloseable game but we lose anyway because my entire team decides to rush under enemy fountain after getting top rax (other t2s were still alive so even if they'd beat their team there was like 0 gain) so they lose bkbs and aegis too
after we still somehow defend, my slark decides to casually run into 4 people when we can comfortable def hg and we lose
then he tells me something about not picking aa and buying midas
xcDxdxdjdxopJXDxddxdxdxddxDXXDDXX
yea i forgot he was 5.1k too! XD
next game dual mid because a guy randoms dp
i like advices to play cores but why does this happen everytime i don't pick a support
gG
you have 3 cores and a jungler?
np pick riki
excuse me
you forgot that every game is winnable
some 5k kids hold no sway over me
a-god?
lol bro what is your behavior score its looks rly fucked up, if mostly of your games are as you describe? btw stop argue with jacked, he is a real retarded 1k player. yeah retarded is a term that is used to much in dota , but in this case it is real trust me im sure he is a real retarded. you can say that by reading jsut 2-3 random of his comments .
Seems like what you describe = normal pub Dota. Except you're making excuses for your losses because you're not good enough
Confirmation bias is a real thing. Also why would anyone listen to mafioso 40% wr in normal skill thinks matchmaking is some conspiracy. Lmao